Question

已知，如圖甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F(xiàn)為AE上一點，且FD⊥BC于D．
（1）試說明：∠EFD=（∠C-∠B）；
（2）當F在AE的延長線上時，如圖乙，其余條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

解：∵FD⊥EC，
∴∠EFD=90°-∠FEC，
∴∠FEC=∠B+∠BAE，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）
=90°-（∠B+∠C），
則∠FEC=∠B+90°-（∠B+∠C）
=90°+（∠B-∠C），
則∠EFD=90°-[90°+（∠B-∠C）]
=（∠C-∠B）；
（2）成立．
證明：同（1）可證：∠AEC=90°+（∠B-∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+（∠B-∠C），
∴∠EFD=90°-[90°+（∠B-∠C）]
=（∠C-∠B）．
分析：（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義得到∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），求得∠FEC，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求得∠EFD的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）可以得到∠AEC=90°+（∠B-∠C），根據(jù)對頂角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的兩個銳角互余即可求解．
點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及外角和定理，角平分線的定義，正確求得：∠AEC=90°+（∠B-∠C）是關(guān)鍵．