Question

銳角為45°的直角三角形的兩直角邊長也相等，這樣的三角形稱為等腰直角三角形．我們常用的三角板中有一塊就是這樣的三角形，也可稱它為等腰直角三角板．把兩塊全等的等腰直角三角板按如圖1放置，其中邊BC、FP均在直線l上，邊EF與邊AC重合．
（1）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；
（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．你認(rèn)為（1）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）BQ=AP，BQ⊥AP．
證明：延長BQ交AP于點(diǎn)M，
∵△ABC和△EFP都是等腰直角三角板，
∴BC=AC，AC⊥BC，∠EPF=45°，
∴∠BCQ=∠ACP=90°，∠CQP=∠EPF=45°，
∴CQ=CP，
在△BCQ和△ACP中，，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP，∠CBQ=∠CAP，
∵∠BCQ=90°，
∴∠CBQ+∠BQC=90°，
∵∠BQC=∠AQM（對頂角相等），
∴∠CAP+∠AQM=90°，
∴∠AMB=90°，
∴BQ⊥AP；


（2）關(guān)系仍然成立：BQ=AP，BQ⊥AP．
證明：延長QB交AP于點(diǎn)M，
∵△ABC和△EFP都是等腰直角三角板，
∴BC=AC，AC⊥BC，∠EPF=45°，
∴∠BCQ=∠ACP=90°，
∵∠CQP=∠EPF=45°，
∴∠CPQ=∠CQP=45°，
∴CQ=CP，
在△BCQ和△ACP中，，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP，∠BQC=∠APC，
∵∠BCQ=90°，
∴∠CBQ+∠BQC=90°，
∵∠PBM=∠QBC（對頂角相等），
∴∠PBM+∠APC=90°，
∴∠PMB=90°，
∴BQ⊥AP．
分析：（1）延長BQ交AP于點(diǎn)M，根據(jù)等腰直角三角板的每一個(gè)銳角都是45°可得∠EPF=45°，然后求出∠CQP=45°，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)求出CQ=CP，然后利用邊角邊定理證明△BCQ與△ACP全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，即可證明BQ=AP，對應(yīng)角相等可得∠CBQ=∠CAP，又∠CBQ+∠BQC=90°，所以∠CAP+∠AQM=90°，從而得到BQ⊥AP；
（2）延長QB交AP于點(diǎn)M，根據(jù)等腰直角三角板的每一個(gè)銳角都是45°可得∠EPF=45°，根據(jù)對頂角相等得到∠CPQ=45°，然后求出∠CQP=45°，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)求出CQ=CP，然后利用邊角邊定理證明△BCQ與△ACP全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，即可證明BQ=AP，對應(yīng)角相等可得∠BQC=∠APC，又∠CBQ+∠BQC=90°，所以∠PBM+∠APC=90°，從而得到BQ⊥AP．
點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的兩直角邊相等，每一個(gè)銳角都是45°的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，題目不比較復(fù)雜但思路比較清晰，此類題目一般都是下一問繼續(xù)沿用第一問的證明思路進(jìn)行求解．