Question

如圖，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，對角線ACBD相交于O，∠ACD=6O°，點S，P，Q分別是OD，OA，BC的中點，
（1）求證：△PQS是等邊三角形；
（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面積；
（3）若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7：8，求梯形上、下兩底的比CD：AB．

Answer 1

分析：（1）連接SC、PB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形中位線可判斷出答案．
（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及∠AOD=120°可求出等邊三角形的邊長，從而可得出答案．
（3）設(shè)CD=a，AB=b（a＜b），根據(jù)題意表示出兩面積的比，從而可得出答案．

解答：解：如圖，連接SC、PB，
（1）證明：∵ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，
又∵AC、BD相交于O，
∴AO=BO，OC=OD，
∵∠ACD=60°，
∴△OCD和△OAB是等邊三角形，
∵S是OD的中點，
∴CS⊥DO，
在RT△BSC中，Q為BC的中點，SQ是斜邊BC的中線，
∴SQ=

1

2

BC．
同理BP⊥AC，在RT△BPC中，PQ=

1

2

BC，
又SP是△OAD的中位線，
∴SP=SQ=PQ，
∴△SPQ是等邊三角形；

（2）∵AB=5，CD=3，
∴可得：CS=

3 3

2

，SB=

13

2

，
∴BC=7，
∴PS=PQ=SQ=

7

2

，
∴S_△PQS=

49 3

16

；

（3）設(shè)CD=a，AB=b（a＜b），
BC²=SC²+BS²=(

3

2

a)2+(b+

a

2

)2=a²+b²+ab，
∴S_△SPQ=

3

16

（a²+ab+b²），
又

S△PQS

S△AOD

=

7

8

，
∴8×

3

16

（a²+ab+b²）=7×

3

4

ab，
即2a²-5ab+2b²=0，
化簡得

a

b

=

1

2

，
故

CD

AB

=

1

2

．

點評：本題考查面積及等積變換，難度較大，注意掌握等腰梯形及等邊三角形的知識，基本知識的掌握是解答綜合題的關(guān)鍵．