Question

如圖，已知△ABC是銳角三角形，BE、CF分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，BE、CF相交于點O，
（1）若∠A=50°，求∠BOC的度數．
（2）∠BOC與∠A有怎樣的關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根據角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后在△OBC中，利用三角形的內角和定理列式進行計算即可得解；
（2）根據（1）的思路證明即可．

解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°，
∵BE、CF分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×130°=65°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°；

（2）∠BOC=90°+

1

2

∠A．理由如下：
證明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BE、CF分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A，
即∠BOC=90°+

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關鍵．