Question

我們知道，當(dāng)一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱這條直線與這個(gè)圓相交.類似地，我們定義：當(dāng)一條直線與一個(gè)正方形有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則稱這條直線與這個(gè)正方形相交.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1).

(1)判斷直線y＝x＋與正方形OABC是否相交，并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)d是點(diǎn)O到直線y＝－x＋b的距離，若直線y＝－x＋b與正方形OABC相交，求d的取值范圍.

Answer 1

解：(1)相交.                                                          (2分)

∵直線y＝x＋與線段OC交于點(diǎn)(0，)　同時(shí)                            (3分)

直線y＝x＋與線段CB交于點(diǎn)(，1)，                                  (4分)

∴直線y＝x＋與正方形OABC相交.

(2)當(dāng)直線y＝－x＋b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，

　 即有1＝－＋b，

∴b＝＋1.

即 y＝－x＋1＋.                                                  (5分)

記直線y＝－x＋1＋與x，y軸的交點(diǎn)分別為D，E.

則D(，0)，E(0,1＋).                                            (6分)

法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA＝＝＝，

∴∠EDO＝60°， ∠OED＝30°.

過(guò)O作OF₁⊥DE，垂足為F₁，則OF₁＝d₁.                               (7分)

在Rt△OF₁E中，∵∠OED＝30°，

∴d₁＝.                                                         (8分)

法2：∴DE＝(3＋).

過(guò)O作OF₁⊥DE，垂足為F₁，則OF₁＝d₁.                                (7分)

∴d₁＝×(1＋)÷[(3＋)]

＝.                                                         (8分)

∵直線y＝－x＋b與直線y＝－x＋1＋平行.

法1：當(dāng)直線y＝－x＋b與正方形OABC相交時(shí)，一定與線段OB相交，且交點(diǎn)不與點(diǎn)O，B重合.故直線y＝－

x＋b也一定與線段OF₁相交，記交點(diǎn)為F，則F不與點(diǎn)O，F₁重合，且OF＝d. (9分)

∴當(dāng)直線y＝－x＋b與正方形相交時(shí)，

有0＜d＜.                                                      (10分)

法2：當(dāng)直線y＝－x＋b與直線y＝x(x＞0)相交時(shí)，

有 x＝－x＋b，即x＝.

①當(dāng)0＜b＜1＋時(shí)，0＜x＜1,0＜y＜1.

此時(shí)直線y＝－x＋b與線段OB相交，且交點(diǎn)不與點(diǎn)O，B重合.

②當(dāng)b＞1＋時(shí)，x＞1，

此時(shí)直線y＝－x＋b與線段OB不相交.

而當(dāng)b≤0時(shí)，直線y＝－x＋b不經(jīng)過(guò)第一象限，即與正方形OABC不相交.

∴當(dāng)0＜b＜1＋時(shí)，直線y＝－x＋b與正方形OABC相交.               (9分)

此時(shí)有0＜d＜.                                                  (10分)