(11·臺州)(14分)已知拋物線y=a(x-m)2+n與y軸交于點A,它的頂點為

點B,點A、B關于原點O的對稱點分別為C、D.若A、B、C、D中任何三點都不在一直

線上,則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形,直線AB為拋物線的伴隨直線.

(1)如圖1,求拋物線y=(x-2)2+1的伴隨直線的解析式.

(2)如圖2,若拋物線y=a(x-m)2+n(m>0)的伴隨直線是y=x-3,伴隨四邊形的面積為12,求此拋物線的解析式.

(3)如圖3,若拋物線y=a(x-m)2+n的伴隨直線是y=-2x+b(b>0),且伴隨四邊形ABCD是矩形.

①用含b的代數(shù)式表示m、n的值;

②在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得△PBD是一個等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標(用含b的代數(shù)式表示),若不存在,請說明理由.

 

(1)由已知得B (2,1),A(0,5).                 ……………………1分

設所求直線的解析式為y=kx+b,     ……………………1分

,

∴所求直線的解析式為y=-2x+5   ……………………1分

(2)如圖,作BE⊥AC于點E,由題意得四邊形ABCD是平行四邊形,點A的坐標為

(0,-3),點C的坐標為 (0,3)                   ……………………1分

可得AC=6                                    ……………………1分

∵□ABCD的面積為12,

∵m>0,即頂點B有y軸的右側,且在直線y=x-3上,

∴頂點B的坐標為B (2,-1)                    ……………………1分

又拋物線經(jīng)過點A (0,-3)

(3)①方法一:如圖,作BE⊥x軸于點E

由已知得:A的坐標為 (0,b),C的坐標為 (0,-b).

∵頂點B (m,n)在直線y=-2x+b上,

∴n=-2m+b,即點B的坐標為(m,-2m+b)    ……………………1分

在矩形ABCD中,OC=OB,

OC2=OB2

即b2=m2+(-2m+b) 2

∴5m2-4mb=0

∴m (5m-4b)=0

方法二:如圖,作BE⊥x軸于點E

類似方法一可得:A的坐標為 (0,b),C的坐標為 (0,-b).

∵頂點B (m,n)在直線y=-2x+b上,

∴n=-2m+b,即點B的坐標為(m,-2m+b)    ……………………1分

∴AE=b-(-2m+b)=2m

CE=-2m+b-(-b)=2b-2m,BE=m,

∵AB⊥BC于點B,

∴△ABC∽△AEB,

BE2=AE·CE,即m2=2m(2b-2m),

 

 

 

(只寫“存在”的給1分)

解析:略

 

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[  ]

A.8分
B.9分
C.10分
D.11分

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(1)如圖1,求拋物線y=(x-2)2+1的伴隨直線的解析式.
(2)如圖2,若拋物線y=a(x-m)2+n(m>0)的伴隨直線是y=x-3,伴隨四邊形的面積為12,求此拋物線的解析式.
(3)如圖3,若拋物線y=a(x-m)2+n的伴隨直線是y=-2x+b(b>0),且伴隨四邊形ABCD是矩形.
①用含b的代數(shù)式表示m、n的值;
②在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得△PBD是一個等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標(用含b的代數(shù)式表示),若不存在,請說明理由.

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①用含b的代數(shù)式表示m、n的值;
②在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得△PBD是一個等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標(用含b的代數(shù)式表示),若不存在,請說明理由.

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