Question

已知：反比例函數(shù)．
（1）若將反比例函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，求所得到的雙曲線C的解析式并畫圖；
（2）雙曲線C上是否存在到原點(diǎn)O距離為的點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）建立平面直角坐標(biāo)系如圖，如圖所示，紅色的雙曲線即為雙曲線C，
反比例函數(shù)y=-上的點(diǎn)（-2，3）繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（3，2），
所以，雙曲線C的解析式為y=；

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，），
則a²+（）²=²，
整理得，a⁴-13a²+36=0，
解得a²=4或a²=9，
解得a₁=2，a₂=-2，a₃=3，a₄=-3，
所以=3，=-3，=2，=2，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（-2，-3）或（3，2）或（-3，-2）．
分析：（1）建立網(wǎng)格平面直角坐標(biāo)系，然后利用描點(diǎn)法作出反比例函數(shù)y=-的圖象，然后找出繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再描點(diǎn)連線作出函數(shù)圖象即可；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，），然后利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，反比例函數(shù)圖象，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作出網(wǎng)格平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．