Question

如圖，不重合的A（2，n）、B（n，2）兩點(diǎn)在y=

n+4

x

（x＞0）反比例函數(shù)的圖象上，BC垂直于y軸于點(diǎn)C．
（1）求n的值；
（2）判斷△ABC的形狀；
（3）若存在點(diǎn)P（m，0），使△PAB是直角三角形，求出滿足條件的所有m的值．

Answer 1

分析：（1）將A坐標(biāo)代入反比例解析式中得到關(guān)于n的方程，求出方程的解即可得到n的值；
（2）三角形ABC為等腰直角三角形，理由為：過(guò)A作AE垂直于x軸，與BC交于D點(diǎn)，由A，B及C的坐標(biāo)得到AD=DE=CD=BD=2，三角形ADC與三角形ADB為等腰直角三角形，可得出AC=AB，∠CAD=∠BAD=45°，進(jìn)而得到∠CAB=90°，即可得到三角形ABC為等腰直角三角形；
（3）由AD=BD=DE=2，同（2）得到三角形ABE為等腰直角三角形，當(dāng)P與E重合時(shí)，三角形PAB為直角三角形，此時(shí)P（2，0），確定出m=2；延長(zhǎng)AC與x軸交于P點(diǎn)，設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，令y=0求出x的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)，即可求出此時(shí)m的值，綜上，得到所有滿足題意m的值．

解答：解：（1）把A（2，n）代入y=

n+4

x

（x＞0）得：2n=n+4，
解得：n=4；

（2）△ABC為等腰直角三角形，理由為：
過(guò)A作AE⊥x軸，交BC于點(diǎn)D，
由（1）可知：A（2，4），B（4，2），
∵BC⊥y軸于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C（0，2），
∴CD=BD=AD=DE=2，
∴△ACD與△ABD都為等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠BAD=45°，即∠CAB=90°，
∵AC=AB=2

2

，
∴△ABC為等腰直角三角形；

（3）連接BE，
∵AD=DE=BD=2，BD⊥AE，
∴△ABD與△BDE都為等腰直角三角形，即∠ABD=∠EBD=45°，
∴∠ABE=90°，AB=BE=2

2

，
則當(dāng)P與E重合時(shí)，△PAB為直角三角形，此時(shí)P坐標(biāo)為（2，0）；
延長(zhǎng)AC與x軸交于點(diǎn)P，連接PB，此時(shí)∠PAB=90°，△PAB為直角三角形，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
將A與C坐標(biāo)代入得：

2k+b=4 b=2

，
解得：

k=1 b=2

，
∴直線AC解析式為y=x+2，
令y=0，求得：x=-2，即P（-2，0），
綜上，m的值為2或-2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．