Question

已知方程x²-3x+a+4=0有兩個(gè)整數(shù)根．
（1）求證：這兩個(gè)整數(shù)根一個(gè)是奇數(shù)根，一個(gè)是偶數(shù)根；
（2）求證：a是負(fù)數(shù)；
（3）當(dāng)方程的兩個(gè)整數(shù)根同號(hào)時(shí)，求a的值及這兩個(gè)根．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩根之和為奇數(shù)即可證明．
（2）根據(jù)△≥0即可證明．
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出兩個(gè)根的值，然后求出a即可．

解答：解：（1）∵方程x²-3x+a+4=0有兩個(gè)整數(shù)根，設(shè)這兩個(gè)整數(shù)根為：x₁，x₂，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：x₁+x₂=3為奇數(shù)，
∵x₁，x₂都是整數(shù)，
∴根據(jù)兩個(gè)整數(shù)的和為奇數(shù)可知：這兩個(gè)整數(shù)根一個(gè)是奇數(shù)根，一個(gè)是偶數(shù)根；

（2）△=9-4（a+4）=9-16-4a≥0，
解得：a≤-

7

4

，
故a是負(fù)數(shù)即為所證；

（3）當(dāng)方程的兩個(gè)整數(shù)根同號(hào)時(shí)，
∵x₁+x₂=3為奇數(shù)，
∴x₁=1，x₂=2，
∴x₁x₂=a+4=2，
解得：a=-2，
∴方程兩個(gè)根為：x₁=1，x₂=2，a的值為-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵是正確運(yùn)用x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時(shí)，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反過(guò)來(lái)可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．