Question

如圖，在△ABC中．∠B=60°，⊙0是△ABC的外接圓，過點A作AP=AC，AP與CO的延長線交于點P，CP交⊙0于點D．
（1）求證：PA為⊙0的切線；
（2）若AC=3，求△APC的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OA、AD，求出∠ADC，求出∠ACD=30°=∠P，求出∠OAD=∠ODA=60°，∠PAD=30°，即可得出OA⊥AP，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）過A作AF⊥CP于F，求出AF，CF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出CP，根據(jù)三角形面積公式求出即可．

解答：
（1）證明：連接OA、AD，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∵CD為直徑，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACD=180°-60°-90°=30°，
∵AP=AC，OD=OA，
∴∠P=∠ACO=30°，∠OAD=∠ADC=60°，
∴∠PAD=∠ADC-∠P=30°，
∴∠OAP=60°+30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA為半徑，
∴AP是⊙O的切線．

（2）
解：過A作AF⊥CP于F，
則∠AFC=90°，
∵AC=3，∠ACF=30°，
∴AF=

1

2

AC=

3

2

，由勾股定理得：CF=

3

2

3

，
∵AP=AC，AF⊥CP，
∴CP=2CF=3

3

，
∴△APC的面積是

1

2

CP×AF=

1

2

×3

3

×

3

2

=

9

4

3

．

點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進(jìn)行推理和計算的能力．