Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）求點的坐標：A______，B______，C______，______，AD的中點E______；
（2）求以E為頂點，對稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過點B，C的拋物線的解析式；
（3）求對角線BD與上述拋物線除點B以外的另一交點P的坐標；
（4）△PEB的面積S_△PEB與△PBC的面積S_△PBC具有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，
∵拋物線經(jīng)過點B（0，-1），
∴a（0-2）²+1=-1，解得a=-，
∴拋物線的解析式為y=-（x-2）²+1，
經(jīng)驗證，拋物線y=-（x-2）²+1經(jīng)過點C（4，-1）；

（3）直線BD的解析式為y=x-1，解方程組得點P的坐標：P（3，）；

（4）S_△PEB=S_△PBC•S_△PBC=×4×=3，S_△PEB=×（1×2+1×1）=，
∴S_△PEB=S_△PBC．
分析：（1）根據(jù)題意和圖象可知OA=OB=1，AD=BC=4，所以（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；
（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，把點B（0，-1）代入可得a=-，即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）利用直線BD的解析式為y=x-1，和拋物線解析式聯(lián)立成方程組即可求得交點坐標為P（3，）；
（4）分別求出S_△PEB=S_△PBC•S_△PBC=×4×=3，S_△PEB=×（1×2+1×1）=，從而證明S_△PEB=S_△PBC．
點評：主要考查了坐標的對稱特點和二次函數(shù)中的有關(guān)性質(zhì)．本題是數(shù)形結(jié)合的綜合題，要熟練運用解析式與點的坐標之間的關(guān)系求解．把幾何圖形有機的和二次函數(shù)結(jié)合起來．