Question

已知二次函數(shù)y＝x²－ax－2a²（a為常數(shù)，且a≠0）．

（1）證明該二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸、負半軸各有一個交點；

（2）若該二次函數(shù)的圖像與y軸的交點坐標為（0，－2），試求該函數(shù)圖像的頂點

坐標．

Answer 1

解：（1）

法一：y＝x²－ax－2a² ＝（x＋a）（x－2a），

令y＝0，則x₁＝－a，x₂＝2a，  …………2分

∵a≠0，x₁、x₂的值必為一正一負，  …………3分

∴該二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸、負半軸各有一個交點；  …………4分

法二：由y＝0得：x²－ax－2a² ＝0（*），

∵△＝(－a)²－4×1×（－2a²）＝9a²，a≠0，

∴△＞0，∴（*）有二個不相等的值數(shù)根.設(shè)二實數(shù)根為x₁，x₂，…………2分

∵x₁x₂＝－2a²＜0，∴（*）有2個異號的實數(shù)根

∴該二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸、負半軸各有一個交點；…………4分

（2）由題意，得－2a²＝－2 ，所以a＝1或－1．            …………5分

當a＝1時，y＝x²－x－2＝（x－）²－，頂點坐標為（，－）    …………6分

當a＝－1時，y＝x²＋x－2＝（x＋）²－，頂點坐標為（－，－）…………7分

該函數(shù)圖像的頂點坐標為（，－）或（－，－）．…………8分