Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA于點(diǎn)E．
（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；
（2）將∠EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G．如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）對于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知三點(diǎn)，可用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；
（2）關(guān)鍵在于正確作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，結(jié)合幾何知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解；
（3）應(yīng)當(dāng)明確△PCG構(gòu)成等腰三角形有三種情況，逐一討論求解，要求思維的完備性．
解答：解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
∴AD=BC．AD=2．
∴E（0，1）．（1分）
設(shè)過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，得c=1．將c=1和點(diǎn)D、C的坐標(biāo)分別代入，
得（2分）
解這個(gè)方程組，得
故拋物線的解析式為y=-x²+x+1；（3分）

（2）EF=2GO成立．（4分）
∵點(diǎn)M在該拋物線上，且它的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．（5分）
設(shè)DM的解析式為y=kx+b₁（k≠0），將點(diǎn)D、M的坐標(biāo)分別代入，
得，
解得
∴DM的解析式為y=-x+3．（6分）
∴F（0，3），EF=2．（7分）
過點(diǎn)D作DK⊥OC于點(diǎn)K，則DA=DK．
∵∠ADK=∠FDG=90°，
∴∠FDA=∠GDK．
又∵∠FAD=∠GKD=90°，
∴△DAF≌△DKG．
∴KG=AF=1．
∵OC=3，
∴GO=1．（8分）
∴EF=2GO；

（3）∵點(diǎn)P在AB上，G（1，0），C（3，0），
則設(shè)P（t，2）．
∴PG²=（t-1）²+2²，PC²=（3-t）²+2²，GC=2．
①PG=PC，則（t-1）²+2²=（3-t）²+2²，
解得t=2．
∴P（2，2），此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，
∴Q（2，2）．（9分）
②若PG=GC，則（t-1）²+2²=2²，
解得t=1，
∴P（1，2），
此時(shí)GP⊥x軸．GP與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，
∴Q（1，）．（10分）
③若PC=GC，則（3-t）²+2²=2²，解得t=3，
∴P（3，2），此時(shí)PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．
過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則QH=GH，設(shè)QH=h，
∴Q（h+1，h）．
∴（h+1）²+（h+1）+1=h．
解得h₁=，h₂=-2（舍去）．
∴Q（，）．（12分）
綜上所述，存在三個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）．
點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等、探究等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．