Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD．

（1）求證：∠A=∠BCD；

（2）若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線DM與⊙O相切？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時(shí)，直線DM與⊙O相切，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；

（2）當(dāng)MC=MD時(shí)，直線DM與⊙O相切，連接DO，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根據(jù)∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，進(jìn)而證得直線DM與⊙O相切．

試題解析：（1）證明：∵AC為直徑，∴∠ADC=90°. ∴∠A+∠DCA=90°.

∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A.

（2）當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時(shí)，直線DM與⊙O相切，理由如下：

如答圖，連接DO，

∵DO=CO，∴∠1=∠2.

∵DM=CM，∴∠4=∠3.

∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴直線DM與⊙O相切．