Question

王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長為60cm的正方形板子；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形板子（如圖①）．王師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材．他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區(qū)域（如圖②）．由于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求FC的長；
（2）利用圖②求出矩形頂點(diǎn)B所對的頂點(diǎn)到BC邊的距離x（cm）為多少時(shí)，矩形的面積y（cm²）最大？最大面積是多少？
（3）若想使裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長．

Answer 1

解：（1）由題意，得△DEF∽△CGF，
∴=，
又∵DE=AD-AE=60-30=30，DF=DC-FC=60-FC，CG=120-60=60，
∴=，
∴FC=40（cm）；

（2）如圖，設(shè)矩形頂點(diǎn)B所對頂點(diǎn)為P，則
①當(dāng)頂點(diǎn)P在AE上時(shí)，x=60，y的最大值為60×30=1800（cm²）．
②當(dāng)頂點(diǎn)P在EF上時(shí)，過點(diǎn)P分別作PN⊥BG于點(diǎn)N，PM⊥AB于點(diǎn)M．
根據(jù)題意，得△GFC∽△GPN．
∴=，
∴NG=x，
∴BN=120-x．
∴y=x（120-x）=-（x-40）²+2400．
∴當(dāng)x=40時(shí)，y的最大值為2400（cm²）．
③當(dāng)頂點(diǎn)P在FC上時(shí)，y的最大值為60×40=2400（cm²）．
綜合①②③，
得x=40cm時(shí)，矩形的面積最大，最大面積為2400cm²；

（3）根據(jù)題意，正方形的面積y（cm²）與邊長x（cm）滿足的函數(shù)表達(dá)式為：y=x（120-x）=-x²+120x．
當(dāng)y=x²時(shí)，正方形的面積最大，
∴x²=-x²+120x．
解之，得x₁=0（舍），x₂=48（cm）．
∴面積最大的正方形的邊長為48cm．
分析：（1）由圖形結(jié)構(gòu)可知DE∥CG，容易想到用相似三角形的性質(zhì)解答；
（2）畫出圖形，根據(jù)P點(diǎn)位置，分三種情況討論：①點(diǎn)P在AE上，②點(diǎn)P在EF上，③點(diǎn)P在FC上．通過觀察，易得①③；利用相似三角形的性質(zhì)可計(jì)算出②．利用正方形面積公式，將面積最值問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程最值問題解答．
點(diǎn)評：本題是一道幾何應(yīng)用問題，在解第2題時(shí)不要忘了分類討論求出每一種情況的最大值后再進(jìn)行比較得出結(jié)論，第3小題只需根據(jù)題意列出方程就能解決．