已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BD過(guò)梯形的高AE的中點(diǎn)F,且BD⊥DC,設(shè)AE=h,BC=a.
(1)用含字母h的代數(shù)式表示a;
(2)若a、h是關(guān)于x的一元二次方程3x2-3(m+2)x+10m=0的兩根,求sin∠DBC的值.
分析:(1)首先由Rt△AFD≌Rt△EFB,可得BF=FD,BE=1;且EF=
;且BD=BF;進(jìn)而可用h表示出BD,BF的長(zhǎng),再根據(jù)Rt△BEF∽R(shí)t△BDC,可得
=;代入h的關(guān)系與BC=a可得答案;
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得a+h=m+2,ah=
;結(jié)合(1)的結(jié)論,可得a,h的值,進(jìn)而可得CD的長(zhǎng),再根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得答案.
解答:
解:(1)根據(jù)題意,AD∥BC,且AF=EF;
易得Rt△AFD≌Rt△EFB,故BF=FD,BE=1;且EF=
;
由勾股定理可得:BF=
;又可得AD=2AF;
Rt△BEF與Rt△BDC中,有∠BEF=∠BDC=90°,∠B=∠B;
故Rt△BEF∽R(shí)t△BDC,進(jìn)而可得
=;
化簡(jiǎn)可得:a=2(1+
);即a=2+
.
(2)若a、h是關(guān)于x的一元二次方程3x
2-3(m+2)x+10m=0的兩根,
則a+h=m+2,ah=
;
又有a=2+
;解可得a=20,h=6;
DC=
=16;
易得sin∠DBC=
=
.
點(diǎn)評(píng):本題考查梯形,菱形、直角三角形的相關(guān)知識(shí).解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線,把梯形分割為菱形和直角三角形,從而由菱形和直角三角形的性質(zhì)來(lái)求解.