Question

已知，如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，在BD上取BE=BO，連接AE，若∠BOE=75°，求：
（1）∠OBE的度數(shù)．
（2）說明△OAB的等邊三角形的理由．
（3）△ABE是什么三角形？為什么？
（4）求∠CAE的度數(shù)．

Answer 1

（1）解：∵BE=BO，∠BOE=75°，
∴∠BEO=∠BOE=75°，
∴∠OBE=180°-∠BOE-∠BEO=30°；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠ABC-∠OBE=90°-30°=60°，
∴△OAB的等邊三角形；

（3）△ABE是等腰直角三角形．
證明：∵△OAB的等邊三角形，
∴OB=AB，
∵BO=BE，
∴AB=BE，
∵∠ABC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形；

（4）解：∵△ABE是等腰直角三角形，△OAB的等邊三角形，
∴∠BAE=45°，∠BAO=60°，
∴∠CAE=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15°．
分析：（1）由BE=BO，∠BOE=75°，根據(jù)等邊對等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠OBE的度數(shù)；
（2）由四邊形ABCD是矩形，即可∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，可得OA=OB，又由∠ABO=∠ABC-∠OBE=60°，即可判定△OAB的等邊三角形；
（3）易證得AB=BE，∠ABE=90°，即可得△ABE是等腰直角三角形；
（4）由△ABE是等腰直角三角形，△OAB的等邊三角形，即可求得∠CAE的度數(shù)．
點評：此題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．