Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA=12

3

cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA以2

3

cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng)．如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度數(shù)．
（2）以O(shè)B為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O相切？
（3）求出△PQR的面積S隨動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最小值及相應(yīng)的t值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）在Rt△OAB中，已知OA、OB的長，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度數(shù)；
（2）連接O′M，當(dāng)PM與⊙O′相切時(shí)，PM、PO同為⊙O′的切線，易證得△OO′P≌△MO′P，則∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等邊三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根據(jù)∠PO′O的度數(shù)及OO′的長即可求得OP的長，已知P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，即可根據(jù)時(shí)間=路程÷速度求得t的值；
（3）過Q作QE⊥x軸于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的長，進(jìn)而根據(jù)∠OAB的度數(shù)表示出QE、AE的長，由S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ即可求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可求出S的最小值及對(duì)應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=

OB

OA

，
∴∠OAB=30°．

（2）如圖，連接O′P，O′M．
當(dāng)PM與⊙O′相切時(shí)，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等邊三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=6

3

．
又∵OP=2

3

t，
∴2

3

t=6

3

，t=3．
即：t=3時(shí)，PM與⊙O′相切．

（3）如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥x于點(diǎn)E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=

1

2

AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×

3

2

．
∴OE=OA-AE=12

3

-2

3

t．
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（12

3

-2

3

t，2t），
S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ
=

1

2

×12×12

3

-

1

2

×2

3

t×（12

3

-2

3

t）•2t-

1

2

•2t（12

3

-2

3

t），
=6

3

t²-36

3

t+72

3

，
=6

3

（t-3）²+18

3

（0＜t＜6）
當(dāng)t=3時(shí)，S_△PQR最小=18

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，題目的綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求很高，是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題．