Question

如圖，在△ABC中，DE∥BC，在AB上取一點F，使S_△BFC=S_△ADE．
求證：AD²=AB•BF．

Answer 1

分析：作EM⊥AB于M，CN⊥AB于N，由三角函數(shù)值就可以表示出ME=sin∠ADE•ED，CN=sin∠B•BC，由三角形的面積關系就可以得出

1

2

AD•ED•sin∠ADE=

1

2

BF•BC•sin∠B，進而可以得出AD•ED=BF•BC，即

AD

BF

=

BC

ED

，再由DE∥BC就可以得就可以得出

AD

BF

=

AB

AD

而得出結(jié)論．

解答：證明：作EM⊥AB于M，CN⊥AB于N，
∴∠EMD=∠CNB=90°，
∴ME=sin∠ADE•ED，CN=sin∠B•BC．
∵S_△BFC=S_△ADE．
∴

1

2

AD•ED•sin∠ADE=

1

2

BF•BC•sin∠B，
∴AD•ED•sin∠ADE=BF•BC•sin∠B．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴sin∠ADE=sin∠B．
∴AD•ED=BF•BC．
即

AD

BF

=

BC

ED

．
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴

AB

AD

=

BC

DE

，
∴

AD

BF

=

AB

AD

，
即AD²=AB•BF．

點評：本題考查了三角函數(shù)正弦值的運用，三角形面積公式的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，證明時找到代換的中間比是解答本題的關鍵．