Question

如圖1，點(diǎn)O是邊長為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，設(shè)∠AOB=°，∠BOC=°

（1）將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連結(jié)OD,如圖2所示. 求證：OD=OC。

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC，連結(jié)DE，如圖3所示. 求證：OA=DE

（3）在（2）的基礎(chǔ)上， 當(dāng)、滿足什么關(guān)系時(shí)，點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上。并直接寫出AO+BO+CO的最小值。

Answer 1

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CO=CD，∠DOC=60°，即得△COD是等邊三角形，問題得證；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，則可得AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，即可證得△EAD≌△ABO，問題得證；（3）

解析試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CO=CD，∠DOC=60°，即得△COD是等邊三角形，問題得證；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，則可得AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，即可證得△EAD≌△ABO，問題得證；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ADC=∠BOC=，∠EDA=∠AOB=，即得∠CDE=，由△COD是等邊三角形可得∠COD=∠CDO=60°，若點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上，則∠BOC=∠CDE=120°，即，得 ，從而可以求得結(jié)果．
（1）∵△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC
∴CO=CD，∠DOC=60°
∴△COD是等邊三角形 
∴OD=OC；
（2）∵△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC
△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC
∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC
∴AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC
∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC即∠DAE=∠OBA
∴△EAD≌△ABO  
∴OA=DE；
（3）∵△ADC≌△BOC，△EAD≌△ABO 
∴∠ADC=∠BOC=，∠EDA=∠AOB=
∴∠CDE=  
∵△COD是等邊三角形 
∴∠COD=∠CDO=60°
若點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上，則∠BOC=∠CDE=120°
即，得 
AO+BO+CO的最小值為．
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)問題的綜合題
點(diǎn)評(píng)：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.