Question

如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CB，CA分別相交于點E，F(xiàn)，則線段EF長度的最小值是

4.8

．

Answer 1

分析：設(shè)EF的中點為P，⊙P與AB的切點為D，連接PD，連接CP，CD，則有PD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，由三角形的三邊關(guān)系知，PC+PD＞CD；只有當(dāng)點P在CD上時，PC+PD=EF有最小值為CD的長，即當(dāng)點P在直角三角形ABC的斜邊AB的高CD上時，EF=CD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時CD=BC•AC÷AB，進(jìn)而求出即可．

解答：解：如圖，設(shè)EF的中點為P，⊙P與AB的切點為D，連接PD，連接CP，CD，則有PD⊥AB；
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，PC+PD=EF，
∴PC+PD＞CD，
∵當(dāng)點P在直角三角形ABC的斜邊AB的高CD上時，EF=CD有最小值，
∴CD=BC•AC÷AB=4.8．
故答案為：4.8．

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關(guān)系，直角三角形的面積公式求解，得出CD=BC•AC÷AB是解題關(guān)鍵．