已知:如下圖,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,與CD相交于點(diǎn)F,H是BC邊的中點(diǎn),連接DH與BE相交于點(diǎn)G。
(1)求證:BF=AC;
(2)求證:CE=BF;
(3)CE與BG的大小關(guān)系如何?試證明你的結(jié)論。

解:(1)∵CD⊥AB,∠ABC=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=CD,
在Rt△DFB和Rt△DAC中,
∵∠DBF=90°﹣∠BFD,∠DCA=90°﹣∠EFC,
且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA,
又∵∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD,
∴Rt△DFB≌Rt△DAC,
∴BF=AC;
(2)在Rt△BEA和Rt△BEC中,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°,
∴Rt△BEA≌Rt△BEC,
∴CE=AE=AC,
又由(1),知BF=AC,
∴CE=AC=BF;
(3)2CE2=BG2
證明:∠ABC=45°,CD垂直AB于D,
則CD=BD,H為BC中點(diǎn),
則DH⊥BC(等腰三角形“三線合一”)
連接CG,
則BG=CG,∠GCB=∠GBC=22.5°,∠EGC=45°,
又∵BE垂直AC,
故∠EGC=∠ECG=45°,CE=GE,
∴CE2+GE2=CG2=BG2;
即2CE2=BG2,BG=CE。

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