已知:如圖,點E在△ABC的邊AC上,且∠AEB=∠ABC.
(1) 求證:∠ABE=∠C;
(2) 若∠BAE的平分線AF交BE于F,F(xiàn)D∥BC交AC于D,設AB=6,AC=10,求DC的長;
(3) 若BE平分∠ABC,AF平分∠BAC,且FD∥BC交AC于點D,連接FC,則△DFC是什么三角形?為什么?
(1)證明:∵ ∠AEB=∠ABC,
且∠AEB=∠EBC+∠C,∠ABC=∠EBC+∠ABE,
∴ ∠EBC+∠C=∠EBC+∠ABE,
∴ ∠ABE=∠C;
(2)解: ∵ ∠BAE的平分線AF交BE于F,
∴ ∠BAF=∠DAF,
∵ FD∥BC交AC于D,
∴ ∠ADF=∠C,
∵ ∠ABE=∠C,
∴ ∠ADF=∠ABE,即∠ADF=∠ABF,
∵ AF=AF,
∴ △BAF≌△DAF,
∴ AD=AB=6,
∴ DC=AC-AD=10-6=4.
(3)解: △DFC是等腰三角形.理由是:
過點F分別作FH⊥AB,F(xiàn)N⊥BC,F(xiàn)M⊥AC,
易證:
△AFH≌△AFM(AAS),從而知FH=FM,
△BFH≌△BFM(AAS),從而知FH=FN,
∴FM=FN,又FC=FC,可證Rt△CFM≌Rt△CFN(HL)
∴∠MCF=∠NCF,
∵FD∥BC,
∴∠DFC=∠BCF,
∴∠DFC=∠MCF,
∴DF=DC,
∴△DFC是等腰三角形.
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