Question

（2012•高淳縣二模）銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別為y₁（萬元）和y₂（萬元），它們與投入資金u的關系式為y₁=

3

5

u

，y₂=

1

5

u．如果將3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，其中對甲商品的投資為x（萬元）．
（1）求經營甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）設

x

=t，試寫出y關于t的函數關系式，并求出經營甲、乙兩種商品各投入多少萬元時使得總利潤最大．

Answer 1

分析：（1）對甲種商品投資x（萬元），對乙種商品投資（3-x）（萬元），根據經驗公式可得甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關于x的函數表達式；
（2）利用配方法確定函數的對稱軸，結合函數的定義域，即可求得總利潤y的最大值．

解答：解：（1）由已知y₁=

3

5

x

，y₂=

1

5

（3-x），
∴y=y₁+y₂=

3

5

x

+

1

5

（3-x），
自變量x的取值范圍為：0≤x≤3．     

（2）∵

x

=t，∴x=t²，
∴y=

3

5

t+

1

5

（3-t²）=-

1

5

t²+

3

5

t+

3

5

=-

1

5

（ t-

3

2

）²+

21

20

，
∴當t=

3

2

時，y取最大值．                              
由t=

3

2

得，x=

9

4

，∴3-x=

3

4

，
即：經營甲、乙兩種商品分別投入

9

4

、

3

4

萬元時，使得總利潤最大．

點評：本題考查了函數模型的構建以及配方法求函數的最值，體現用數學知識解決實際問題，屬于基礎題．