Question

已知關(guān)于x的方程 kx²-2 (k+1) x+k-1="0" 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

（1）求k的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）k>-1且k≠0；（2）不存在

【解析】

試題分析：（1）由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得根的判別式△，即可得到關(guān)于k的不等式，再結(jié)合一元二次方程根的二次項(xiàng)系數(shù)不為0求解即可；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁ , x₂的倒數(shù)和為0，則x₁，x₂不為0，且，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，且，解得k=-1，而這與（1）中k的范圍矛盾，即可作出判斷.

（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=[-2(k＋1)]²－4k(k-1)>0，且k≠0，解得k>-1，且k≠0

即k的取值范圍是k>-1且k≠0；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁ , x₂的倒數(shù)和為0.

則x₁，x₂不為0，且，即，且，解得k="-1" .

而k="-1" 與方程有兩個(gè)不相等實(shí)根的條件k>-1，且k≠0矛盾，

故使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為0的實(shí)數(shù)k不存在.

考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系

點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒有實(shí)數(shù)根．