Question

已知E是邊長為7的正方形ABCD對角線BD上一點，過點E的直線MN平行于DC，交AD于M，交BC于N，EF⊥AE于E，交CB于F，MD=3．
（1）求證：△AME≌△ENF；
（2）求AF的長；
（3）求tan∠BEF的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)對角線平分一組對角可得∠ADB=45°，然后求出△MDE是等腰直角三角形，再求出ME=MD=3，然后求出AM=EN=4，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠2=∠3，再利用“角邊角”證明△AME和△ENF全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得NF=ME，然后求出BF，再利用勾股定理列式計算即可得解；
（3）過點F作FG⊥BD于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BE，BG=GF，然后求出EG，再根據(jù)銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ADB=45°，
∴△MDE是等腰直角三角形，
∴ME=MD=3，
∴AM=EN=7-3=4，
∵EF⊥AE，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵MN∥DC，
∴∠AME=∠ADC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△AME和△ENF中，

∠2=∠3 AM=EN ∠AME=∠ENF=90°

，
∴△AME≌△ENF（ASA）；

（2）解：∵△AME≌△ENF，
∴NF=ME，
∴BF=BN-FN=EN-FN=4-3=1，
在Rt△ABF中，AF=

AB2+BF2

=

72+12

=5

2

；

（3）解：如圖，過點F作FG⊥BD于G，
則BE=

2

EN=4

2

，
BG=GF=

2

2

BF=

2

2

，
所以，EG=BE-BG=4

2

-

2

2

=

7 2

2

，
tan∠BEF=

GF

EG

=

2 2

7 2 2

=

1

7

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，熟練掌握正方形的性質(zhì)并作輔助線構造出∠BEF所在的直角三角形是解題的關鍵．