Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點F，∠AED＝2∠CED，點G是DF的中點．

（1）求證：AE＝AG；

（2）若BE＝2，BF＝1，AG＝5，點H是AD的中點，求GH的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）GH＝

【解析】

（1）先由矩形的性質(zhì)得對邊平行及∠BAD＝90°，再由平行線的性質(zhì)及直角三角形的斜邊中線性質(zhì)得∠CED＝∠ADB和∠ADB＝∠GAD，利用三角形的外角性質(zhì)及∠AED＝2∠CED，可得∠AGE＝∠AED，從而證得結(jié)論；

（2）由（1）中結(jié)論AE＝AG及AG＝5可得AE的長；再在Rt△ABE中，由勾股定理求得AB的長；然后由AF＝AB﹣BF，求得AF的長；最后由三角形的中位線定理可求得GH的長．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠BAD＝90°，

∴∠CED＝∠ADB，

又∵點G是DF的中點，

∴GA＝GD，

∴∠ADG＝∠GAD，

∴∠AGE＝2∠CED，

又∵∠AED＝2∠CED，

∴∠AGE＝∠AED，

∴AE＝AG；

（2）∵AE＝AG，AG＝5，

∴AE＝5，

又∵在Rt△ABE中，BE＝2，

∴AB＝＝，

∵BF＝1，

∴AF＝AB﹣BF＝﹣1，

∵G是DF中點，H是AD中點，

∴GH＝AF＝．