Question

已知：△ABC中AC=mAB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∠C+∠EDF=180°，DE、DF分別交AC、BC于E、F．
（1）若∠C=90°，探究DE、DF間的數(shù)量關(guān)系．
（2）若∠C≠90°，探究DE、DF間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）作DG⊥AC，DH⊥BC，易證∠EDG=∠FDH，即可證明△DEG∽△DFH，可得

DE

DF

=

DG

DH

，易證BC=2DG，AC=2DH，即可解題；
（2）延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使DG=DE，連接FG，BG，易證△ADE≌△BDG，可得∠A=∠DBG，∠AED=∠BGD，易證C、F、D、E四點(diǎn)共圓，可得∠FDG=∠C，∠AED=∠CFD，即可求得∠CFD=∠BGD，可得BGDF四點(diǎn)共圓，可得∠DFG=∠A，即可證明△DFG∽△CAB，可得

DF

AC

=

DG

BC

，整理得：

DF

DG

=

AC

BC

，即可解題．

解答：解：（1）作DG⊥AC，DH⊥BC，

∵∠EDG+∠GDF=90°，∠GDF+∠FDH=90°，
∴∠EDG=∠FDH，
∵∠DGE=∠DHF=90°，
∴△DEG∽△DFH，
∴

DE

DF

=

DG

DH

，
∵∠C=90°，DG⊥AC，DH⊥BC，
∴BC=2DG，AC=2DH，
∴

DE

DF

=

DG

DH

=

BC

AC

=

1

m

，
∴DF=mDE；
（2）延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使DG=DE，連接FG，BG，

在△ADE和△BDG中，

DE=DG ∠ADE=∠BDG AD=BD

，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴∠A=∠DBG，∠AED=∠BGD，
∵∠C+∠EDF=180°，
∴C、F、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠FDG=∠C，∠AED=∠CFD，
∴∠CFD=∠BGD，
∴BGDF四點(diǎn)共圓，
∴∠DFG=∠DBG，
∴∠DFG=∠A，
∴△DFG∽△CAB，∴

DF

AC

=

DG

BC

，
∴

DF

DG

=

AC

BC

=m，
∵DG=DE，
∴

DF

DE

=m，即DF=mDE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證△ADE≌△BDG和△DFG∽△CAB是解題的關(guān)鍵．