在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,線段ADBC邊上的中線.

(1)如圖(Ⅰ),將△ADC沿直線BC平移,使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合,得到△FCE,連結(jié)AF

求證:四邊形ADEF是等腰梯形;

(2)如圖(Ⅱ),在(1)的條件下,再將△FCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°)連結(jié)AF、DE

①當(dāng)ACCF時(shí),求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù);②當(dāng)α=60°時(shí),請(qǐng)判斷四邊形ADEF的形狀,并給予證明.

答案:
解析:

  (1)證明:∵△ADC沿直線BC平移得到△FCE,

  ∴ADFC,且ADFC,∴四邊形ADCF是平行四邊形,

  ∴AFDC,即AFDE, 1分

  ∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴∠ACD=60°,

  ∵ADBC邊上的中線,∴AD=DC, 2分

  ∴△ADC是等邊三角形, 3分

  ∵△ADC≌△FCE,∴△FCE是等邊三角形,

  ∴AD=FE, 4分

  ∵AFDE,∴四邊形ADEF是等腰梯形. 5分

  (2)①解:由(1)可知∠1=60°, 6分

  當(dāng)ACCF時(shí),∠2=90°-60°=30°,

  ∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為30°, 7分

 、谒倪呅ADEF為矩形, 8分

  由(1)可知△ADC和△FCE是全等正三角形,

  ∴CACECDCF, 9分

  當(dāng)α=60°時(shí),如圖(Ⅲ),∠ACF=60°+60°=120°,

  ∴∠ACE=120°+60°=180°,∴AC、E三點(diǎn)共線,同理:D、C、F三點(diǎn)共線, 10分

  ∴AEDF, 11分

  ∴四邊形ADEF為矩形. 12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,D是AB上一點(diǎn),以BD為直徑的⊙O切AC于E,求⊙O的半徑.

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A、12B、6C、2D、3

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在Rt△ABC中,已知a及∠A,則斜邊應(yīng)為(  )
A、asinA
B、
a
sinA
C、acosA
D、
a
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A、9:4B、9:2C、3:4D、3:2

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