Question

如圖，已知直線l經過點D（-1，4），與x軸的負半軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點，且直角△AOB的內切圓的面積為π，求直線l對應的一次函數的表達式．

Answer 1

分析：要求直線l對應的一次函數的表達式，由直線l經過點D（-1，4），根據待定系數法，只需求出此直線上另外一點F的坐標即可．設直角△AOB的內切圓⊙M與OA、OB、AB分別切于點G、E、F．先由直角△AOB的內切圓的面積為π，得出其內切圓面積為1，易證四邊形OGME是正方形，得出點G的坐標為（-1，0）．再延長GM交AB于N，證明點N與點D重合．然后過點F作FP⊥OB于P，交GN于H．分別解RT△MNF和RT△HNF，求出點F的坐標．

解答：解：設直角△AOB的內切圓⊙M與OA、OB、AB分別切于點G、E、F，則∠MGO=∠MFB=∠OEM=90°．
∵⊙M的面積為π，
∴π×ME²=π，
∴ME=1．
∵∠MGO=∠GOE=∠OEM=90°，MG=ME，
∴四邊形OGME是正方形，
∴OG=1，點G的坐標為（-1，0）．
延長GM交AB于N，則NG⊥OA，
∴N點橫坐標與G點橫坐標相同，是-1，
又∵直線AB經過點D（-1，4），
∴點N與點D重合．
∴MN=NG-MG=4-1=3．
在RT△MNF中，MN=3，MF=1，
由勾股定理，可知FN=2

2

．
∴sin∠FNM=

1

3

，tan∠FNM=

1

2 2

=

2

4

．
過點F作FP⊥OB于P，交GN于H，則FP=FH+HP=FH+ME=FH+1，HG=HM+MG=HM+1．
在Rt△HNF中，∠FHN=90°，FN=2

2

，sin∠FNH=

1

3

，
∴FH=FN•sin∠FNH=

2 2

3

，
∴FP=

2 2

3

+1=

2 2 +3

3

；
在RT△MHF中，∠FHN=90°，FH=

2 2

3

，tan∠MFH=tan∠FNM=

2

4

，
∴HM=FH•tan∠MFH=

2 2

3

×

2

4

=

1

3

，
∴HG=

1

3

+1=

4

3

，
∴點F的坐標為（-

2 2 +3

3

，

4

3

）．
設直線l的解析式為y=kx+b．
∵直線l經過點D（-1，4），點F（-

2 2 +3

3

，

4

3

），
∴

-k+b=4 - 2 2 +3 3 k+b= 4 3

，
解得

k=2 2 b=4+2 2

．
故所求直線l的解析式為y=2

2

x+4+2

2

．

點評：本題主要考查了直角三角形內切圓半徑的求法，切線的性質，正方形的判定與性質，解直角三角形及運用待定系數法求一次函數的解析式，綜合性較強，有一定難度．