Question

如圖，已知A，B兩點是直線AB與x軸的正半軸，y軸的正半軸的交點，且OA，OB的長分別是x²-14x+48=0的兩個根（OA＞OB），射線BC平分∠ABO交x軸于C點，若有一動點P以每秒1個單位的速度從B點開始沿射線BC移動，運動時間為t秒
（1）設△APB和△OPB的面積分別為S₁，S₂，求S₁：S₂；
（2）求直線BC的解析式；
（3）在點P的運動過程中，△OPB可能是等腰三角形嗎？若可能，求出時間t；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出OA和OB的長度，P是角平分線上的點，P到OB，AB的距離相等，而兩個三角形的高相等，S₁：S₂=AB：OB=5：3；
（2）過C作CD垂直AB，垂足為D，設OC=x，則CD=x，易知BD=OB，然后根據(jù)勾股定理列出方程式解答即可；
（3）分別取三個點做頂角的頂點，然后求出符合題意的t的值．

解答：解：（1）x²-14x+48=0 x₁=6，x₂=8； OA=8，OB=6 AB=10（3分）
P是角平分線上的點，P到OB，AB的距離相等，
S₁：S₂=AB：OB=5：3，

（2）過C作CD垂直AB，垂足為D，
設OC=x，則CD=x，易知BD=OB，
在直角三角形CDA中：CD²+AD²=AC²，
x²+4²=（8-x）²
x=3（7分）
所以C點的坐標（3，0）
BC的解析式：y=-2x+6（9分）

（3）①BP=OB時，t=6（10分）
②BP=OP時，P在OB的中垂線上，y_p=3，代入直線BC的解析式得P（

3

2

，3），
利用勾股定理可得BP=

3 5

2

③OB=OP時，t=

24 5

5

．（12分）

點評：本題主要考查對與勾股定理和一元二次方程的應用．