Question

(1)探究新知：

①如圖，已知AD∥BC，AD＝BC，點(diǎn)M，N是直線CD上任意兩點(diǎn)．

求證：△ABM與△ABN的面積相等．

②如圖，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，點(diǎn)M是直線CD上任一點(diǎn)，點(diǎn)G是直線EF上任一點(diǎn)．試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由．

(2)結(jié)論應(yīng)用：

如圖③，拋物線y＝ax²＋bx＋c的頂點(diǎn)為C(1，4)，交x軸于點(diǎn)A(3，0)，交y軸于點(diǎn)D．試探究在拋物線y＝ax²＋bx＋c上是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

﹙友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知”中的結(jié)論．﹚

Answer 1

答案：
解析：

(1)①證明：分別過點(diǎn)M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E，F． 　　∵AD∥BC，AD＝BC， 　　∴四邊形ABCD為平行四邊形． 　　∴AB∥CD． 　　∴ME＝NF． 　　∵S△ABM＝，S△ABN＝， 　　∴S△ABM＝S△ABN．1分 　�、谙嗟龋�理由如下：分別過點(diǎn)D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分別為H，K． 　　則∠DHA＝∠EKB＝90°． 　　∵AD∥BE， 　　∴∠DAH＝∠EBK． 　　∵AD＝BE， 　　∴△DAH≌△EBK． 　　∴DH＝EK．2分 　　∵CD∥AB∥EF， 　　∴S△ABM＝，S△ABG＝， 　　∴S△ABM＝S△ABG　3分 　　(2)答：存在．　4分 　　解：因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C(1，4)，所以，可設(shè)拋物線的表達(dá)式為 　　又因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，將其坐標(biāo)代入上式，得，解得 　　∴該拋物線的表達(dá)式為，即．5分 　　∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)． 　　設(shè)直線AD的表達(dá)式為，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，得，解得． 　　∴直線AD的表達(dá)式為． 　　過C點(diǎn)作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點(diǎn)H．則H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為． 　　∴CH＝CG－HG＝4－2＝2．6分 　　設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為． 　　過E點(diǎn)作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，EF∥CG． 　　由(1)可知：若EP＝CH，則△ADE與△ADC的面積相等． 　�、偃�E點(diǎn)在直線AD的上方(如圖③)， 　　則PF＝，EF＝． 　　∴EP＝EF－PF＝＝． 　　∴． 　　解得，．7分 　　當(dāng)時(shí)，PF＝3－2＝1，EF＝1＋2＝3． 　　∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)． 　　同理當(dāng)m＝1時(shí)，E點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，與C點(diǎn)重合．8分 　�、谌�E點(diǎn)在直線AD的下方(如圖④，⑤)， 則．9分 　　∴．解得，．10分 　　當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 　　當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為． 　　∴在拋物線上存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點(diǎn)的坐標(biāo)為E1(2，3)；；．12分 　　(其他解法可酌情處理)