Question

（2003•金華）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點（A點在原點左側(cè)，B點在原點右側(cè)），與y軸交于C點．若AB=4，OB＞OA，且OA、OB是方程x²+kx+3=0的兩根．
（1）請求出A，B兩點的坐標；
（2）若點O到BC的距離為，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）若點P的橫坐標為2，且△PAB的外心為M（1，1），試判斷點P是否在（2）中所求的二次函數(shù)圖象上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于已知OA、OB是方程x²+kx+3=0的兩根，故可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出OA、OB的值，再根據(jù)A點在原點左側(cè)，B點在原點右側(cè)，OB＞OA，可確定A、B的坐標．
（2）設(shè)C（0，c），可根據(jù)△OBC的面積求出點C的坐標，再用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．
（3）先設(shè)出P點坐標，根據(jù)三角形外心的定義可求出P點坐標，再把其代如（2）中二次函數(shù)的解析式，看是否適合即可．
解答：解：（1）由題意可知OA+OB=-K，OA•OB=3，
∵AB=4，即OA+OB=-K=4，k=-4，
故方程x²+kx+3=0可化為x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
即OA=1，OB=3，
∵AB=4，OB＞OA，A點在原點左側(cè)，B點在原點右側(cè)，
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）設(shè)C（0，c），
如圖：根據(jù)三角形的面積公式可知BC•OD=OB•OC，
即•=3c，
解得c=±3，
故C（0，3）或（0，-3），
設(shè)過A、B、C三點的函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
當(dāng)c＞0時，，
解得
，
故二次函數(shù)的解析式為y=-x²+3x+3，同理當(dāng)c=-2時．
二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x-3，故過A、B、C三點的
二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3或y=-x²+2x-3；

（3）設(shè)P點坐標為（2，x），由外心的定義可知AE=PE，
即=，
解得y=3，或y=1，
把x=2分別代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3和y=-x²+2x-3，
解得y=±3，
故P不在（2）中所求的二次函數(shù)圖象上．
點評：此題比較復(fù)雜，涉及到二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及三角形的性質(zhì)，是中學(xué)階段的難點．