Question

（1997•吉林）解方程

1+ 9 x

+

x x+9

=

5

2

．如果有一個實根，用這個根和它的相反數(shù)為二根作一個一元二次方程；如果有兩個實根，分別用這兩個實根的倒數(shù)為根作一個一元二次方程．

Answer 1

分析：先利用換元法求出x的值，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出這個方程．

解答：解：設(shè)y=

1+ 9 x

，則原方程可變形為：y+

1

y

=

5

2

，即2y²-5y+2=0，
解得：y₁=2，y₂=

1

2

，
當(dāng)y=2時，

1+ 9 x

=2，
解得：x=3，
當(dāng)y=

1

2

時，

1+ 9 x

=

1

2

，
解得：x=-12
經(jīng)檢驗x=3，x=-12均為原方程的根，
則所求的一元二次方程為：z²-（

1

3

-

1

12

）z+

1

3

×（-

1

12

）=0，
即z²-

1

4

z-

1

36

=0．

點評：此題考查了無理方程，解題的關(guān)鍵是利用換元法求出x的值，用到的知識點是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．