Question

已知一個(gè)兩位數(shù)，其十位與個(gè)位數(shù)字分別為p、q，二次函數(shù)y=x²+qx+p的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，且S_△ABC≤1，
（1）求q²-4p的取值范圍；
（2）求出所有這樣的兩位數(shù)

.

pq

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是相應(yīng)一元二次方程的解，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出A、B兩點(diǎn)的距離，再根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用以上條件表示出三角形的面積公式，進(jìn)而得出q²-4p的取值范圍；
（2）根據(jù)0＜q²-4p≤4，得出q²-4p=1，2，3，4，然后推出q²-4p=1，或q²-4p=4，從而推出

.

pq

的值．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），（x₁≠x₂），
則x₁、x₂是方程x²+qx+p=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，
所以x₁+x₂=-q，x₁x₂=p，q²-4p＞0，
又yc=

4p-q2

4

（y_c表示點(diǎn)C的縱坐標(biāo)），所以
S_△ABC=

1

2

|x1-x2|•|yc|=

1

2

q2-4p

•|

4p-q2

4

|≤1，
從而（q²-4p）³≤64，q²-4p≤4，
故0＜q²-4p≤4；

（2）由（1）知，q²-4p=1，2，3，4，
因?yàn)閝²被4除余數(shù)為0或1，
故q²-4p被4除余數(shù)也是0或1，
從而q²-4p=1，或q²-4p=4，
這兩個(gè)方程中符合題意的整數(shù)解有：

p=2 q=3

，

p=6 q=5

，

p=3 q=4

，

p=8 q=6

．
故所有兩位數(shù)

.

pq

為23，65，34，86．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的與一元二次方程的關(guān)系，帶余數(shù)的除法及根的判別式，三角形的面積公式，涉及面較廣，難度較大．