Question

（2006•煙臺(tái)）如圖，直線分別與y軸、x軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，且AB=5，一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓，以0.8個(gè)單位/秒的速度向y軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)此動(dòng)圓圓心離開(kāi)坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)間為t（t≥0）（秒）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，t為何值時(shí)，動(dòng)圓與直線AB相切；
（3）如圖2，若在圓開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)t秒時(shí)點(diǎn)P到動(dòng)圓圓心C的距離為s，求s與t的關(guān)系式；
（4）在（3）中，動(dòng)點(diǎn)P自剛接觸圓面起，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間后離開(kāi)了圓面？

Answer 1

【答案】分析：（1）在函數(shù)解析式中，令y=0，解得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)圓與AB相切時(shí)△AC₁D₁∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出t的值；
（3）本題應(yīng)分t=0，0＜t＜5，t=5，t＞5幾種情況進(jìn)行討論；
（4）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與圓面剛接觸時(shí)，或剛離開(kāi)時(shí)，s=1．
解答：解：（1）由x-k=0，k≠0，得x=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∵AB=5，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
∴直線AB的解析式為y=-x+4；

（2）設(shè)t秒時(shí)圓與AB相切，此時(shí)圓心為C₁或C₂，切點(diǎn)為D₁，D₂，如圖所示，連接C₁D₁，C₂D₂，
由△AC₁D₁∽△ABO，得，
即：，
∴，
同理由△AC₂D₂∽△ABO，
可求得，
∴當(dāng)秒或秒時(shí)，圓與直線AB相切；

（3）如圖2，①當(dāng)t=0時(shí)，s=3，
②當(dāng)0＜t＜5時(shí)，設(shè)t秒時(shí)動(dòng)圓圓心為C，連接PC．，
∴PC∥OB，
∴，即，
∴，
③當(dāng)t=5時(shí)，s=0，
④當(dāng)t＞5時(shí)，設(shè)動(dòng)圓圓心為C₁，動(dòng)點(diǎn)P在P₁處，連接C₁P₁．
由②同理可知P₁C₁∥OB．
∴，即，
又當(dāng)t=0或5時(shí)，②中s=3或0，
所以綜上所述：
當(dāng)0≤t≤5時(shí)，s=-；
當(dāng)t＞5時(shí)，s=；

（4）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與圓面剛接觸時(shí)，或剛離開(kāi)時(shí)，s=1，
當(dāng)s=1時(shí)，由，代入得；
由s=，代入得t=．（秒），
∴動(dòng)點(diǎn)P自剛接觸圓面起，經(jīng)秒后離開(kāi)了圓面．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及直線與圓的位置關(guān)系．