Question

已知反比例函數(shù)y₁=

k

x

的圖象與一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象交于點A（1，4）和點B（m，-2），
（1）求這兩個函數(shù)的關(guān)系式；
（2）觀察圖象，寫出使得y₁＞y₂成立的自變量x的取值范圍；
（3）如果點C與點A關(guān)于x軸對稱，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)點A的坐標(biāo)求出反比例函數(shù)的解析式為y₁=

4

x

，再求出B的坐標(biāo)是（-2，-2），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時，直線在雙曲線的下方，直接根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值x的取值范圍x＜-2 或0＜x＜1．
（3）根據(jù)坐標(biāo)與線段的轉(zhuǎn)換可得出：AC、BD的長，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)y₁=

k

x

的圖象過點A（1，4），即4=

k

1

，
∴k=4，即y₁=

4

x

，
又∵點B（m，-2）在y₁=

4

x

上，
∴m=-2，
∴B（-2，-2），
又∵一次函數(shù)y₂=ax+b過A、B兩點，
即

-2a+b=-2 a+b=4

，
解之得

a=2 b=2

．
∴y₂=2x+2．
綜上可得y₁=

4

x

，y₂=2x+2．

（2）要使y₁＞y₂，即函數(shù)y₁的圖象總在函數(shù)y₂的圖象上方，
如圖所示：當(dāng)x＜-2 或0＜x＜1時y₁＞y₂．
（3）

由圖形及題意可得：AC=8，BD=3，
∴△ABC的面積S_△ABC=

1

2

AC×BD=

1

2

×8×3=12．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式．以及三角形面積的求法，這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．