Question

已知|x₁-1|+（x₂-2）²+|x₃-3|+（x₄-4）²+…+|x₁₉₉₉-1999|+（x₂₀₀₀-2000）²=0，
求

1

x1x2

+

1

x2x3

+

1

x3x4

+…+

1

x1999x2000

的值．

Answer 1

分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x₁、x₂、…、x₂₀₀₀，再利用裂項(xiàng)法進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：根據(jù)題意得，x₁-1=0，x₂-2=0，x₃-3=0，x₄-4=0，
…，
x₁₉₉₉-1999=0，x₂₀₀₀-2000=0，
解得，x₁=1，x₂=2，x₃=3，x₄=4，…，x₁₉₉₉=1999，x₂₀₀₀=2000，
∴

1

x1x2

+

1

x2x3

+

1

x3x4

+…+

1

x1999x2000

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1999×2000

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

1999

-

1

2000

，
=1-

1

2000

，
=

1999

2000

．
答：值為

1999

2000

．

點(diǎn)評：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，主要利用了幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，以及裂項(xiàng)法求解，裂項(xiàng)法是常用的方法之一，需熟練掌握并靈活運(yùn)用．