(2013•濟(jì)南)如圖,點A的坐標(biāo)是(-2,0),點B的坐標(biāo)是(6,0),點C在第一象限內(nèi)且△OBC為等邊三角形,直線BC交y軸于點D,過點A作直線AE⊥BD,垂足為E,交OC于點F.
(1)求直線BD的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求線段OF的長;
(3)連接BF,OE,試判斷線段BF和OE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
分析:(1)根據(jù)△OBC是等邊三角形,可得∠OBC=60°,在Rt△PBD中,解得OD的長度,得出點D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式即可;
(2)分別求出∠BAE和∠AFO的度數(shù),即可得出OF=OA=2.
(3)在Rt△ABE中,先求出BE,繼而得出CE=OF,證明△COE≌△OBF,可得BF和OE的數(shù)量關(guān)系.
解答:解:(1)∵△OBC是等邊三角形,
∴∠OBC=60°,OC=BC=0B,
∵點B的坐標(biāo)為(6,0),
∴OB=6,
在Rt△OBD中,∠OBC=60°,OB=6,
∴∠ODB=30°,
∴BD=12,
∴OD=
122-62
=6
3
,
∴點D的坐標(biāo)為(0,6
3
),
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,則可得
6k+b=0
b=6
3

解得:
k=-
3
b=6
3
,
∴直線BD的函數(shù)解析式為y=-
3
x+6
3

(2)∵∠OCB=60°,∠CEF=90°,
∴∠CFE=30°,
∴∠AFO=30°(對頂角相等),
又∵∠OBC=60°,∠AEB=90°,
∴∠BAE=30°,
∴∠BAE=∠AFO,
∴OF=OA=2.
(3)連接BF,OE,如圖所示:
∵A(-2,0),B(6,0),
∴AB=8,
在Rt△ABE中,∠ABE=60°,AB=8,
∴BE=ABcos∠ABE=4,
∴CE=BC-BE=2,
∴OF=CE=2,
在△COE和△OBF中,
CE=OF
∠OCE=∠BOF=60°
CO=OB
,
∴△COE≌△OBF(SAS),
∴OE=BF.
點評:本題考查了一次函數(shù)的綜合,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合思想的運用,對于此類綜合性較強(qiáng)的題目,要求同學(xué)們具有扎實的基本功,熟練掌握學(xué)過的性質(zhì)定理及常見解題方法.
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(1)求∠CAD的度數(shù);
(2)設(shè)CM=x,求S與x的函數(shù)表達(dá)式,并求x為何值時S的值最大?
(3)S的值最大時,過點C作EC⊥AC交AB的延長線于點E,連接EN(如圖2),P為線段EN上一點,Q為平面內(nèi)一點,當(dāng)以M,N,P,Q為頂點的四邊形是菱形時,請直接寫出所有滿足條件NP的長.

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(2013•濟(jì)南)如圖1,拋物線y=-
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x2+bx+c與x軸相交于點A,C,與y軸相交于點B,連接AB,BC,點A的坐標(biāo)為(2,0),tan∠BAO=2,以線段BC為直徑作⊙M交AB與點D,過點B作直線l∥AC,與拋物線和⊙M的另一個交點分別是E,F(xiàn).
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求點C的坐標(biāo)和線段EF的長;
(3)如圖2,連接CD并延長,交直線l于點N,點P,Q為射線NB上的兩個動點(點P在點Q的右側(cè),且不與N重合),線段PQ與EF的長度相等,連接DP,CQ,四邊形CDPQ的周長是否有最小值?若有,請求出此時點P的坐標(biāo)并直接寫出四邊形CDPQ周長的最小值;若沒有,請說明理由.

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