Question

如圖．在△ABC中．∠C=90°，BC=6．D、E分別在AB、AC上．將△ABC沿DE折疊，使點A落在A′處．若A′為CE的中點．
（1）求證：△ACB∽△AED；
（2）求折痕DE的長．

Answer 1

（1）證明：∵將△ABC沿DE折疊，使點A落在A′處，A′為CE的中點，
∴∠DEA=90°，
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠DEA=∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴△ACB∽△AED；

（2）解：∵A′為CE的中點，
∴A′C=A′E，
∵△ABC沿DE折疊，使點A落在A′處，
∴AE=A′E，
∴AE=A′E=A′C，
∴=，
∵△ACB∽△AED，
∴==，
∵BC=6，
∴DE=BC=2．
分析：（1）由△ABC沿DE折疊，使點A落在A′處，易證得∠DEA=∠C=90°，即可得DE∥BC，然后由平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，即可證得：△ACB∽△AED；
（2）由A′為CE的中點，易得AE：AC=1：3，然后由△ACB∽△AED，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得折痕DE的長．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．