Question

【題目】已知：在等邊△ABC中， AB= ，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)（如圖1）．若將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BD1E1 ， 設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），記射線CE1與AD1的交點(diǎn)為P．

（1）判斷△BDE的形狀；
（2）在圖2中補(bǔ)全圖形，
①猜想在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CE1與AD1的數(shù)量關(guān)系并證明；
②求∠APC的度數(shù)；
（3）點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值為 ． （直接填寫結(jié)果）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，

∴DE= BC，BD= BA，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=60°，BA=BC，

∴BD=BE，

∴△BDE為等邊三角形

（2）解：補(bǔ)全圖形如圖2所示：

①CE1=AD1．理由如下：

∵△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BD1E1，

∴△BD1E1為等邊三角形，

∴BD1=BE1，∠D1BE1=60°，

而∠ABC=60°，

∴∠ABD1=∠CBE1，

∴△ABD1可由△CBE1繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴CE1=AD1；

②∵△ABD1可由△CBE1繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴∠BAD1=∠BCE1，

∴∠APC=∠ABC=60°

（3）6
【解析】（3）解：∵∠APC=∠D1BE1=60°，

∴點(diǎn)P、D1、B、E1共圓，

∴當(dāng)BP⊥BC時(shí)，點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值，此時(shí)點(diǎn)E1在AB上，

在Rt△PBC中，PB= AB= ×2 =2，

∴點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值為2．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．