Question

已知：△ABC中，記∠BAC=α，∠ACB=β．
（1）如圖1，若AP平分∠BAC，BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于點D，用α的代數(shù)式表示∠BPC的度數(shù)，用β的代數(shù)式表示∠PBD的度數(shù)
（2）如圖2，若點P為△ABC的三條內角平分線的交點，BD⊥AP于點D，猜想（1）中的兩個結論是否發(fā)生變化，補全圖形并直接寫出你的結論．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形內角和定理可求出∠CBA+∠ACB，根據(jù)鄰補角的性質可求出∠MBC+∠NGB，再根據(jù)角平分線的性質∠PBC+∠PCB，根據(jù)三角形內角和定理算出結果．

解答：解：（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°，∠BAC=α
∴∠CBA+∠ACB=180°-∠BAC=180°-α
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NCB+∠ACB=180°
∴∠MBC+∠NGB=360°-∠ABC-∠ACB=360°-（180°-α）=180°+α
∵BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN
∴∠PBC=

1

2

∠MBC，∠PCB=

1

2

∠NCB
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

∠MBC+

1

2

∠NCB=

1

2

（180°-α）=90°-

1

2

α
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α
∵∠BAC=α，∠ACB=β，∵∠MBC是△ABC的外角
∴∠MBC=α+β
∵BP平分∠MBC
∴∠MBP=

1

2

∠MBC=

1

2

（α+β）
∵∠MBP是△ABP的外角，AP 平分∠BAC
∴∠BAP=

1

2

α，∠MBP=∠BAP+∠APB
∴∠APB=∠MPB-∠BAP=

1

2

（α+β）-

1

2

α=

1

2

β；

（2）如圖2，若點P為△ABC的三條內角平分線的交點，BD⊥AP于點D，猜想（1）中的兩個結論不發(fā)生變化，
∠BPC=90°+

1

2

α；∠PND=

1

2

β．

點評：本題考查了三角形內角和定理，角平分線，外角的性質．注意知識的靈活運用．