Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x²-4x+3與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．
（1）求△ABC的面積；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=x²-4x+3與x軸交于兩點(diǎn)A、B，求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再求△ABC的面積；
（2）利用配方法求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，進(jìn)一步求出與對稱軸的交點(diǎn)E，對稱軸與x軸的交點(diǎn)；數(shù)形結(jié)合，解得△AEF和△EFB均為等腰直角三角形，再證得△AFP∽△AEC，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用對稱求得另一點(diǎn)P．
解答：解：如圖
（1）令y=0，則x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（1，0），B（3，0）
令x=0，則c=3
∴C（0，3）
∴；

（2）y=x²-4x+3=（x-2）²-1
∴D（2，-1）
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，（k≠0）
∴.
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
對稱軸直線x=2與x軸交于點(diǎn)F，與BC交于點(diǎn)E，
可得F（2，0），E（2，1）
連接AE．
∴AF=FB=FE=1．
∵EF⊥AB，
∴△AEF和△EFB均為等腰直角三角形．
∴∠AEF=∠FEB=45°
∴∠AEB=90°
∴∠AEC=∠AFP=90°
∵∠APD=∠ACB，
∴△AFP∽△AEC（5分）
.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）
同理可得P的坐標(biāo)為（2，-2）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2）．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式、待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定及對稱的性質(zhì)，始終滲透數(shù)形結(jié)合的思想．