Question

如圖，正方形ABCD，M為AD上一點(diǎn)，N為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且MA=CN，連MB、NB、MN，E為MN中點(diǎn)，連EC．下列結(jié)論：
①△MBN為等腰Rt△；②DM+CN=2BC；③MD=

2

CE；④若正方形邊長(zhǎng)為1，tan∠CEN=CN，
其中正確的有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,三角形中位線定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：幾何圖形問(wèn)題

分析：容易證得△ABM≌△BCN，得出BM=BN，①正確；進(jìn)一步得出②錯(cuò)誤；利用E為MN中點(diǎn)，連接ED、EB．求證△DCE≌△BCE，得出∠DCE=∠BCE=45°，利用直角三角形邊角關(guān)系得出③正確；利用三角形的內(nèi)角和得出∠CEN=∠CBN，表示出tan∠CEN=CN，得出④正確．

解答：解：連接ED、EB．

∵ABCD是正方形，
∴∠A=∠BCN=90°，AB=CB；
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠A=∠BCN AM=NC

∴△ABM≌△BCN（SAS）
∴∠MBA=∠CBN，BM=BN．
∴∠MBN=∠ABC=90°（①△MBN為等腰Rt△正確；②DM+CN=DM+AM=AD=BC≠2BC錯(cuò)誤）．
∵E是MN的中點(diǎn)，
∴BE=

1

2

MN；
∵DE=

1

2

MN，
∴DE=BE=EM=EN．
在△DCE和△BCE中，

CD=CB DE=BE CE=CE

∴△DCE≌△BCE，（SSS）
∴∠DCE=∠BCE=45°，
作EQ⊥DN垂足為Q，
∴QE=

1

2

MD，
則CE=

2

QE=

2

2

MD，
∴MD=

2

CE（③正確）；
在△CEP和△BPN中，
∠BNM=∠ECP，∠CPE=∠BPN
∴∠CEN=∠CBN
∴正方形邊長(zhǎng)為1，tan∠CEN=tan∠CBN=CN，④正確．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，銳角三角函數(shù)的意義等知識(shí)，注意解答的方法與技巧．