Question

在直角△ABC中，銳角C的平分線交對邊于E，又交斜邊上的高AD于O，過O引OF∥CB交AB于F，求證：AE=BF．

Answer 1

解：過E點(diǎn)作EK⊥BC，垂足為K，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵∠EAC=90°，
∴EA⊥AC，
∴EK=EA（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）．
∵∠1+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠1=∠B，
∵∠OEA=∠B+∠ACB，∠AOE=∠1+∠ACB，
∴∠OEA=∠AOE
∴AO=EA=EK
∵OF∥CB，
∴∠EFO=∠B
∵在△AOF和△EKB中

∴△AOF≌△EKB（AAS）
∴AF=EB，
∴AE=BF．
分析：本題可通過構(gòu)建全等三角形求解；過E作EK⊥BC于K，通過證△AOF≌△EKB，得AF=EB，從而根據(jù)AE=AF-EF、BF=BE-EF，得出AE=BF的結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；利用三角形全等是證線段相等的重要手段之一，能夠正確的構(gòu)建出全等三角形，是解答此題的關(guān)鍵．