Question

閱讀下列材料，然后解答問題．
經(jīng)過正四邊形（即正方形）各頂點(diǎn)的圓叫作這個(gè)正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個(gè)正四邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形．
如圖，已知正四邊形ABCD的外接圓⊙O，⊙O的面積為S₁，正四邊形ABCD的面積為S₂，以圓心O為頂點(diǎn)作∠MON，使∠MON=90°，將∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別與⊙O相交于點(diǎn)E、F，分別與正四邊形ABCD的邊相交于點(diǎn)G、H．設(shè)由OE、OF、及正四邊形ABCD的邊圍成的圖形（圖中的陰影部分）的面積為S．①
（1）當(dāng)OM經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)（如圖①），則S、S₁、S₂之間的關(guān)系為：S=______（用含S₁、S₂的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)OM⊥AB時(shí)（如圖②），點(diǎn)G為垂足，則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由；
（3）當(dāng)∠MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)（如圖③），則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的圓的對稱性，顯然陰影部分的面積等于扇形OEF的面積減去三角形OEF的面積，即圓面積的減去正方形的面積的；
（2）顯然此時(shí)扇形OEF的面積仍是圓面積的，四邊形OGBH的面積仍是正方形的面積的，故（1）中結(jié)論仍成立；
（3）可以作OP⊥AB，OQ⊥BC，利用全等的知識即可證明四邊形OGBH的面積和（2）中四邊形的面積相等，故結(jié)論仍成立．
解答：解：（1）根據(jù)圖形的對稱性，得
S=；

（2）結(jié)論仍成立．
∵扇形OEF的面積仍是圓面積的，四邊形OGBH的面積仍是正方形的面積的，
∴S=；


（3）作OP⊥AB，OQ⊥BC．
則∠OPG=∠OQH，OP=OQ，
∵∠POQ=∠MOH，
∴∠POG=∠QOH，
∵在△OPG與△OQH中，
，
∴△OPG≌△OQH（ASA）．
結(jié)合（2）中的結(jié)論即可證明．
點(diǎn)評：一題多變是常見的類型，熟悉正方形的性質(zhì)．