Question

已知：函數(shù)y=ax²+x+1的圖象與x軸只有一個公共點．

（1）求這個函數(shù)關系式；

（2）如圖所示，設二次函數(shù)y=ax²+x+1圖象的頂點為B，與y軸的交點為A，P為圖象上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標；

（3）在(2)中，若圓與x軸另一交點關于直線PB的對稱點為M，試探索點M是否在拋物線y=ax²+x+1上，若在拋物線上，求出M點的坐標；若不在，請說明理由．

 

 

Answer 1

解：（1）當a = 0時，y = x+1，圖象與x軸只有一個公共點

當a≠0時，△=1- 4a=0，a = ，此時，圖象與x軸只有一個公共點．

∴函數(shù)的解析式為：y=x+1 或`y=x²+x+1

   （2）設P為二次函數(shù)圖象上的一點，過點P作PC⊥x

軸于點C．

∵是二次函數(shù)，由（1）知該函數(shù)關系式為：

y=x²+x+1，則頂點為B（-2，0），圖象與y軸的交點

坐標為A（0，1）………（4分）

∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點B  ∴PB⊥AB  則∠PBC=∠BAO

  ∴Rt△PCB∽Rt△BOA

  ∴，故PC=2BC，

設P點的坐標為(x，y)，∵∠ABO是銳角，∠PBA是直角，∴∠PBO是鈍角，∴x<-2

∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P點的坐標為(x，-4-2x)

∵點P在二次函數(shù)y=x²+x+1的圖象上，∴-4-2x=x²+x+1…

解之得：x₁=-2，x₂=-10

∵x<-2 ∴x=-10，∴P點的坐標為：(-10，16)…

（3）點M不在拋物線上

由（2）知：C為圓與x 軸的另一交點，連接CM，CM與直線PB的交點為Q，過點M作x軸的垂線，垂足為D，取CD的中點E，連接QE，則CM⊥PB，且CQ=MQ

∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE

∵CM⊥PB，QE⊥CE  PC⊥x 軸 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB

∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =

CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=

∴Q點的坐標為(-，)

可求得M點的坐標為(，)…

∵=≠

∴C點關于直線PB的對稱點M不在拋物線上

(其它解法，仿此得分)