Question

己知：正方形ABCD．
（1）如圖①，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊AB和AD上，且AE=AF．此時(shí)，線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是什么？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．
（2）如圖②，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，連接BE、DF，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖③，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，連接BD、DE、EF、FB，得到四邊形BDEF，則順次連接四邊形BDEF各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠ADF，延長DF交BE于O，求出∠ABE+∠2=90°，從而得到∠BOD=90°，根據(jù)垂直的定義得到BE⊥DF；
（3）連接BE、DF，同理求出BE=DF，BE⊥DF，再根據(jù)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形的中點(diǎn)組成的四邊形是正方形解答．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，
∵AE=AF，
∴AB-AE=AD-AF，
即BE=DF，
∵∠A=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；

（2）∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，

AB=AD ∠BAE=∠DAF AE=AF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
延長DF交BE于O，
∵∠ADF+∠1=90°，∠1=∠2（對(duì)頂角相等），
∴∠ABE+∠2=90°，
∴∠BOD=180°-90°=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；

（3）連接BE、DF，
與（2）同理求出BE=DF，BE⊥DF，
故順次連接四邊形BDEF各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及中點(diǎn)四邊形的判定，熟記各性質(zhì)求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．