Question

已知關(guān)于x的方程kx²+2（k+1）x-3=0
（1）若方程有兩個(gè)有理數(shù)根，求整數(shù)k的值
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，試討論方程根的情況．

Answer 1

分析：（1）方程有兩根，則根據(jù)跟的判別式求出k的取值范圍，然后根據(jù)兩根都是有理數(shù)，進(jìn)而判斷出整數(shù)k的值，
（2）分類討論，當(dāng)k=0時(shí)，方程是一元一次方程，方程的根只有一個(gè)，當(dāng)k≠0，結(jié)合不等式16k+3＞0和跟的判別式等條件討論出方程根的情況．

解答：解：（1）若方程有兩個(gè)有理數(shù)根，
則△=4（k+1）²+12k≥0，
解得k≤

-5- 21

2

或k≥

-5+ 21

2

，
若一元二次方程有有理根，
則△=4（k+1）²+12k是一個(gè)有理數(shù)的平方，
解得k=3或-5或-8，

（2）若k滿足不等式16k+3＞0，
即k＞-

3

16

，
①若k=0，方程kx²+2（k+1）x-3=0只有一個(gè)根，
②當(dāng)k≠時(shí)，方程kx²+2（k+1）x-3=0為一元二次方程，
令△=4（k+1）²+12k=4k²+20k+4=0，
解得k=

-5± 21

2

，
又知-

3

16

＞

-5+ 21

2

，
∴當(dāng)16k+3＞0時(shí)，△＞0，
∴方程有兩個(gè)根，
故當(dāng)k=0時(shí)，方程有一個(gè)根，
當(dāng)k≠0，16k+3＞0，時(shí)，方程有兩個(gè)根．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程的整數(shù)根與有理根的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和跟的判別式的知識(shí)，此題有點(diǎn)難度．