Question

（2013•十堰）如圖，正三角形ABC的邊長是2，分別以點B，C為圓心，以r為半徑作兩條弧，設兩弧與邊BC圍成的陰影部分面積為S，當

2

≤r＜2時，S的取值范圍是

π

2

-1≤S＜

4π

3

-

3

．

Answer 1

分析：首先求出S關于r的函數(shù)表達式，分析其增減性；然后根據(jù)r的取值，求出S的最大值與最小值，從而得到S的取值范圍．

解答：解：如右圖所示，過點D作DG⊥BC于點G，易知G為BC的中點，CG=1．
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG=

CD2-CG2

=

r2-1

．
設∠DCG=θ，則由題意可得：
S=2（S_扇形CDE-S_△CDG）=2（

θπr2

360

-

1

2

×1×

r2-1

）=

θπr2

180

-

r2-1

，
∴S=

θπr2

180

-

r2-1

．
當r增大時，∠DCG=θ隨之增大，故S隨r的增大而增大．
當r=

2

時，DG=

r2-1

=1，∵CG=1，故θ=45°，
∴S=

45π( 2 )2

180

-

( 2 )2-1

=

π

2

-1；
若r=2，則DG=

r2-1

=

3

，∵CG=1，故θ=60°，
∴S=

60π22

180

-

22-1

=

4π

3

-

3

．
∴S的取值范圍是：

π

2

-1≤S＜

4π

3

-

3

．
故答案為：

π

2

-1≤S＜

4π

3

-

3

．

點評：本題考查扇形面積的計算、等邊三角形的性質、勾股定理等重要知識點．解題關鍵是求出S的函數(shù)表達式，并分析其增減性．